Non sappiamo, dunque, come Anassagora avesse risolto il problema. Ci è noto, invece, il lavoro di un matematico un po’ più giovane di Anassagora, 

Ippocrate da Chio, 

di cui abbiamo già parlato. Fu lui che, per avvicinarsi al problema, affrontò quello preliminare della quadratura delle lunule. 

Egli mostrò prima che le aree dei due cerchi stanno tra loro come i quadrati costruiti sui loro diametri. 

Di qui riuscì finalmente a ottenere la prima rigorosa quadratura di un’area curvilinea nella storia della matematica.

Egli cominciava con un semicerchio circoscritto a un triangolo rettangolo isoscele, e sulla base ( o ipotenusa) di questo triangolo costruiva un segmento simile ai segmenti circolari costruiti sui lati del triangolo rettangolo. Poiché i segmenti stanno tra loro come i quadrati costruiti sulle loro basi, per il teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo si ha che la somma dei due piccoli segmenti circolari risulta uguale al segmento circolare maggiore.Pertanto la differenza tra il semicerchio AC e il segmento ADCE è uguale al triangolo ABC.  La lunula ABCD è dunque esattamente uguale al triangolo ABC.  E poiché il triangolo ABC è uguale al quadrato costruito sulla metà di AC, si è ottenuta la quadratura della lunula.

 

Ippocrate descrisse altre numerose quadrature di lunule, anche con trapezi isosceli.

Ci sono però opinioni diverse circa le conseguenze che egli avrebbe tratto dalla sua quadratura delle lunule. Alcuni sono convinti che egli credesse di poter quadrare tutte le lunule, quindi anche il cerchio. Altri ritengono che egli si rendesse conto dei limiti del suo metodo. Non manca infine chi sostiene che Ippocrate sapesse benissimo di non aver quadrato il cerchio, ma cercasse di ingannare i suoi concittadini inducendoli a pensare che ci fosse riuscito. Certo è che non esiste documentazione, oltre le lunule.

Esiste invece documentazione del metodo della quadratrice, dovuto a Dinostrato