LA SPIRALE DI ARCHIMEDE E LA
TRISEZIONE DELL'ANGOLO

Archimede fornì la soluzione della "spirale" al
problema della quadratura del cerchio e della
trisezione dell'angolo: questa non fu ottenuta soltanto
con riga e compasso. Bisogna chiarire il concetto di
spirale definita come luogo piano di un punto che,
partendo dall'estremo di un raggio, si sposta
uniformemente lungo questo raggio mentre il raggio a
sua volta ruota uniformemente intorno al suo estremo.
L'angolo é disposto in modo che il vertice e uno dei
lati coincida con il punto iniziale O della spirale e con
la posizione iniziale OA della semiretta che ruota. Il
segmento OP dove P é il punto di intersezione del lato
OR con la spirale, viene trisecato nei punti R e S; poi
si tracciano delle circonferenze aventi per centro O e
per raggi OR e OS. Intersecando queste circonferenze
la spirale nei punti U e V, le linee OV e OU
trisecheranno allora l'angolo AOP. 



LA TRISEZIONE NEL LIBRO DEI LEMMI

Sia ABC l'angolo da trisecare con centro in B si
traccia loro una circonferenza di raggio qualsiasi che
intersechi AB in P e BC in Q e si prolunghi BC in R.
Si tiri poi la linea STP in modo che S stia sul
prolungamento CQBR e T stia sulla circonferenza, in
modo che ST=BQ=BP=BT. Si mostra allora
facilmente, dal momento che i triangoli STB e TBP
sono isosceli, che l'angolo BST é esattamente un terzo
dell'angolo QBP, l'angolo che si voleva trisecare.