Furono Antifone e Brisone di Eraclea, contemporanei di Socrate, a introdurre una nuova brillante idea: il principio di esaustione. Se si prende un esagono e si raddoppiano i suoi lati, trasformandolo in un dodecagono, e poi lo si raddoppia ancora, e ancora, a un certo punto si avrà un poligono con un numero di lati tanto grande da essere diventato il cerchio. Brisone fece un secondo rivoluzionario passo, calcolando le aree di due poligoni, uno inscritto, l’altro circoscritto, e ipotizzando che l’area del cerchio dovesse essere compresa tra le due ed esserne il limite comune al crescere del numero dei lati. I calcoli, però, che comportavano la determinazione dell’area di centinaia di triangoli sempre più piccoli, erano estremamente complessi per quel tempo, e nessun matematico era in gradi di calcolare molte cifre decimali.

Un paio di secoli più tardi, la sfida fu ripresa dal grande siracusano Archimede, morto nel 212 a.c, uno dei più grandi pensatori della storia.

Egli riprese i metodi di esaustione, ma si concentrò sui perimetri dei due poligoni, e non sulle aree, ottenendo due poligoni di 96 lati, di cui calcolò i perimetri. I suoi risultati furono resi pubblici nel libro:" Misura del cerchio":

"la circonferenza di ogni cerchio è tripla del diametro, più una parte minore di 1/7 del diametro e maggiore di 10/71". 

Non dimentichiamo che Archimede calcolò questi valori senza disporre di un simbolo per lo 0 e senza che fosse nota la notazione decimale.

In pratica, facendo una media tra i limiti superiore e inferiore del rapporto, gli unici che poteva calcolare, si ottiene un valore pari a 3,1419, con un errore di meno di 3/10.000.