Il sistema BINARIO e quello ESADECIMALE.
Il sistema di numerazione binario è particolarmente legato ai calcolatori in quanto essi possono riconoscere solo segnali aventi due valori: uno alto e uno basso; per cui si associa al valore alto la cifra binaria 1 e a quello basso la cifra binaria 0 (oppure H e L, o ancora VERO e FALSO). Infatti nel sistema binario esistono solo due cifre, 0 e 1 appunto, e i numeri ma anche tutte le altre informazioni vengono rappresentate con sequenze di Zero e di Uno. Il sistema di numerazione binario è un sistema posizionale come quello decimale, cosa vuol dire: consideriamoli numero decimale 237, esso può essere scomposto in questo modo:
237 = 2 * 10^2 + 3 * 10^1 + 7 * 10^0
ossia le cifre del numero vengono moltiplicate per le potenze di dieci (da cui decimale) crescenti da destra verso sinistra. I numeri binari vengono costruiti nello stesso modo solo che invece di potenze di 10 si usano le potenze di 2, quindi considerando il seguente numero binario, scomponendolo ed effettuando i calcoli si ottiene il corrispondente numero decimale:
11010010 = 1*2^8 + 1*2^7 + 0*2^6 + 1*2^5 + 0*2^4 + 0*2^3 + 0*2^2 + 1*2^1 + 0*2^0 = 210
Ora che abbiamo visto la conversione Base 10 -> Base 2 vediamo come si effettua l'operazione inversa.
L'algoritmo è abbastanza semplice:
1. Si divide la cifra decimale per 2
2. Se il quoziente è pari si scrive 0 se è dispari 1
3. Si divide il quoziente ancora per 2 e si ripete il passo 3
4. La sequenza ottenuta RIBALTATA è la rappresentazione binaria del numero decimale
Vediamolo applicato al numero decimale 145 (questo è lo schema che di solito si utilizza):
145 |
72 | 1 (cifra - significativa)
36 | 0
18 | 0
9 | 0
4 | 1
2 | 0
1 | 0
0 | 1 (cifra + significativa)
Quindi 145 in base 10 equivale a 10010001 in base 2. Semplice vero?
N.B. Una cosa da notare è che con N cifre binarie possiamo rappresentare tutti i numeri da 0 fino a 2^N-1.
Ora che abbiamo conosciuto i numeri in base 2 andiamo a conoscere i numeri in base 16, che risultano utili in quanto ogni cifra esadecimale corrisponde a 4 cifre binarie e il passaggio da una base all'altra risulta facile.
Tanto per cominciare le cifre del Sistema esadecimale sono 16, direte “10 le conosciamo ma le altre 6”? Be’, si usano anche le prime sei lettere dell'alfabeto :
DEC 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
HEX 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
Anche il sistema esadecimale è posizionale e quindi la conversione Hex ->Dec si nello stesso modo visto prima (naturalmente si usano le potenze di 16). Un'altra conversione che serve spesso è quella da Esadecimale a Binario e viceversa. Sono entrambe molto semplici in quanto come dicevamo prima tutte le cifre esadecimali si possono codificare con quattro cifre binarie :
Hex Bin
0 0000
1 0001
2 0010
3 0011
4 0100
5 0101
6 0110
7 0111
8 1000
9 1001
A 1010
B 1011
C 1100
D 1101
E 1110
F 1111
Quindi il numero esadecimale 3F5 corrisponde al
001111110101
3 F 5
Per il viceversa basta prendere il numero binario a blocchi di 4 cifre (partendo dalla cifra meno significativa) e convertirli in cifre esadecimali:
10 1101 0101 0010
0010 --> 2
0101 --> 5
1101 --> D
10 --> 2
Quindi corrisponderà al numero 2D52 esadecimale! Un altro sistema di numerazione adottato nel campo dei calcolatori fino a qualche tempo fa era quello ottale (base 8), che lascio immaginare a voi come funzioni! In un programma assembly per specificare la base di numerazione si fa seguire al numero una lettera:
b - Binario (es. 0100101101b)
o - Ottale (es. 543o)
d - Decimale (es. 982d)
h - Esadecimale (es. 0F23h)
Adesso siamo in grado di rappresentare solo i numeri positivi, e quelli negativi? Per questi ultimi i calcolatori utilizzano un metodo non sempre intuitivo: il complemento a 2. Vediamo subito un esempio per capire come funziona: consideriamo il numero 5 e rappresentiamolo in binario a 8 bit : 00000101, calcoliamo da questo la rappresentazione binaria di -5, si procede nel seguente modo:
1 - Si complementano tutti i bit (0-->1 e 1-->0)
00000101
||||||||
11111010
2 - al numero ottenuto si somma 1
11111010 +
1
----------
11111011
3 - Il numero ottenuto è la rappresentazione binaria di -5
Per fare la verifica provate a sommare 5 a -5 e vedrete che otterrete 0 (attenzione: il bit eventuale di overflow viene perso in quanto nel nostro esempio abbiamo specificato che stiamo usando solo 8 bit; anche in un calcolatore comunque il numero di bit è limitato dalla dimensione dei registri). Quindi con n bit possiamo rappresentare i numeri da -2^(n-1) a 2^(n-1)-1 (per es., con 4 bit da -8 a 7) e il bit più significativo indica il segno: se è 1 vuol dire che il numero è negativo.
Oltre al codice binario normale a volte sono utili altre rappresentazioni binarie dei numeri decimali, come per esempio la notazione BCD (Binary Code Decimal). In BCD le 10 cifre del codice decimale vengono codificate una a una con 4 bit nel seguente modo:
Decimale 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
BCD 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001
Così per rappresentare il numero decimale 145 basta codificare le sue cifre (1, 4 e 5) con il rispettivo codice BCD :
145 --> 101000101
In binario vengono rappresentati anche i caratteri. Per ogni carattere si usano 8 bit, per un totale di 255 caratteri, e per le corrispondenze carattere-codice si fa riferimento alla convenzione ASCII. Tutti abbiamo da qualche parte una tabella dei codici ASCII.
Oltre a saper rappresentare i numeri binari bisogna saper fare anche le operazioni con essi.
Per capire come si effettua ad esempio una somma basta pensare a cosa avviene con i numeri in base 10 e ricordarsi che in base 2 ci sono solo due cifre.
Quindi (in base 10) se sommo 7 a 6 scrivo 3 con il riporto di 1, sommo il riporto a 0 e unendo i risultati ottengo (magia) 13.
In decimale il riporto si ha quando la somma supera 10, mentre in binario quando la somma supera 2. Quindi, per es.:
10100011 +
10100101
----------
101001000
..Lascio a voi le altre operazioni….