Equazione delle corde vibranti.

Equazione di D’Alembert.

Ipotesi:

la corda ha densità lineare costante che indichiamo con μ;

La tensione T della corda è costante in ogni punto;

L’angolo α è molto piccolo, si può porre perciò sen α =tg α, e ds = dx.

Il segmento di corda ds, di massa μds, ha ascisse degli estremi x, e x+dx.

Allora:

T_1y = -Tsenα₁ = -Ttgα₁

quindi

analogamente

T_2y = T senα₂ = T tgα₂, ma

e, per la formula del differenziale

pertanto :

e la particella ds è sottoposta alla forza verticale:

per la seconda legge delle dinamica allora:

sempre nell’ipotesi che l’angolo sia sufficientemente piccolo si può porre ds=dx, da cui l’equazione:

posto ora = l’equazione diventa:

che è una equazione del II ordine alle derivate parziali.

Lo stesso D’Alembert propose una soluzione ; egli osservò infatti che qualsiasi funzione avente come argomento (x-vt) o (x+vt), è soluzione dell’equazione, quindi l’integrale generale è della forma:

y = f(x – vt) + h(x + vt)

con f e h funzioni arbitrarie ; è immediato verificare infatti che, essendo

l’equazione delle corde vibranti diventa una identità.

Proprietà della soluzione di D’Alembert

Poniamo h = 0 e consideriamo la soluzione y = f(x – vt)

Sia y₁ = f(x₁-vt₁) la situazione della particella posta a distanza x₁ nell’istante t₁ e y₂ = f(x₂ – vt₂) il moto della particella posta a distanza x₂ nell’istante t₂. Se si verifica che x₁ – vt₁ = x₂ – vt₂, ossia

Δt = t₂ – t₁ =

allora nel punto di ascissa x₂ arriva, nel tempo t₂ = t₁ + Δt, l’elongazione

y = y₁ esistente al tempo t₁ nel punto di ascissa x₁.

Il termine Δt = rappresenta pertanto il tempo impiegato dall’elongazione a percorrere la distanza x₂ – x₁ con velocità v.

La funzione f rappresenta un’onda progressiva, cioè un’onda che si propaga nel verso delle x crescenti e v è la velocità di propagazione. Si deduce perciò che la velocità di propagazione dell’onda dipende dalla tensione della fune e dalla densità lineare (massa per unità di lunghezza), secondo la relazione:

l’equazione delle corde vibranti è giustamente famosa, in quanto la si incontra in numerosi problemi di meccanica come pure di altre discipline. Le implicazioni più importanti però si trovano quando si mette a confronto questa equazione con la quarta equazione dell’elettromagnetismo proposta da Maxwell.

La quarta equazione di Maxwell.

Maxwell introdusse il concetto di “corrente di spostamento” per giustificare il passaggio della corrente elettrica nello spazio compreso tra le armature di un condensatore, spazio che, come è noto, è riempito da un dielettrico, materiale notoriamente isolante, quindi non conduttore. Egli suppose che la variazione, nel tempo, del flusso del campo elettrico tra le armature del condensatore corrispondesse ad una corrente elettrica. Questa corrente in definitiva non consiste in un movimento di particelle materiali cariche, ma in una variazione dell’intensità del campo elettrico. Questa genera una variazione del flusso del campo magnetico concatenato, per cui questa corrente si autirigenera. Egli pervenne alla formulazione delle equazioni:

per il campo magnetico, e

per il campo elettrico.

I due campi sono tra loro perpendicolari, ed inoltre entrambi obbediscono all’equazione delle corde vibranti, ove si ponga v² = , da cui:

nel vuoto ε = 8,856x10^-12, μ = 4πx10^-7, e quindi v = 2,99x10⁸ m/s, questi campi quindi si propagano nel vuoto con una velocità che coincide con quella della luce, appare quindi naturale a questo punto ritenere la luce stassa un fenomeno di natura elettromagnetica.

Una seconda non meno importante conseguenza poi è la seguente:

Maxwell non introduce un sistema di riferimento particolare, per cui non si capisce rispetto a che cosa la velocità con la quale si propagano queste oscillazioni va misurata.

Per capire l’importanza di questo interrogativo basti pensare che i tentativi fatti per dare una risposta aprono la strada alla teoria della Relatività formulata da Einstein sulla base di due postulati.

· La velocità della luce nel vuoto è indipendente da quella della sorgente che la emette, e nessun oggetto o segnale può muoversi a velocità maggiore;

· Un osservatore, facendo qualunque tipo di esperimenti e misure, troverà che essi sono governati dalle stesse leggi qualunque sia il sistema di riferimento inerziale in cui si trova il suo laboratorio.